Prędkość regulacji PID

Teorię regulatora proporcjonalno-całkująco-różniczkującego najlepiej przedstawić w postaci dobrze znanego równania różniczkowego drugiego rzędu, odnoszącego się do prędkości, zamiast tradycyjnej formy bazującej na położeniu.

Mimo olbrzymiej popularności i wielości aplikacji w przemysłowych systemach sterowania (ICS), algorytm regulatora proporcjonalno-różniczkująco-całkującego (PID) dla wielu techników i inżynierów pozostaje wciąż owiany nutą tajemniczości. Wystarczy poprosić inżynierów o opisanie działania samego członu różniczkującego (D, derivate), a już – z pewnością wielu z nich odpowie jedynie niemym spojrzeniem.

W podręcznikach, artykułach oraz na szkoleniach spotkać można wzór algorytmu sterującego dla regulacji PID w formie równania 1:

Równanie 1

Opis pojęć:

E = błąd, różnica pomiędzy punktem nastawy a wartością mierzoną

OP = Sygnał wyjściowy do końcowego elementu sterującego, zwykle w jednostce [%]

P = człon proporcjonalny

I = człon całkujący

D = człon różniczkujący

KP = Wzmocnienie członu proporcjonalnego

KI = wzmocnienie członu całkującego

KD = wzmocnienie członu różniczkującego

Inne spojrzenie

Można zadać sobie pytanie: Dlaczego algorytm opisywany jest takim wzorem? Cóż, ta forma zapisu odpowiada nazwie algorytmu oraz zawiera i wskazuje jednoznacznie człony: proporcjonalny, całkujący oraz różniczkujący. Czy jednak jest możliwa inna forma interpretacji algorytmu działania tego typu regulatorów? W tym artykule skupimy się na przedstawieniu algorytmu w nieco odmiennej formie, wykorzystując prędkość zamiast położenia.

Podstawowym narzędziem inżyniera są równania różniczkowe. Jak tylko studenci inżynierii nauczą się rozwiązywać równania różniczkowe, wykorzystują to narzędzie do rozwiązywania zadań z fizyki opisujących układy z masą i sprężyną oraz obliczania obwodów RLC na zajęciach z elektrotechniki (R – rezystancja, opór elektryczny; L – indukcyjność; C – pojemność). Inżynierowie dobrze znają te kategorie zadań, a to dlatego, że matematycznie stanowią one ten sam problem w kwestii formułowania równań i sposobu ich rozwiązywania. Układy takie opisują równania różniczkowe drugiego rzędu, które mają wiele zastosowań w otaczającym nas świecie. Poznanie podstaw wyższej matematyki sprawia, że łatwiej jest je zrozumieć i zapamiętać.

Podręczniki z zakresu automatyki zwykle opisują algorytm PID jako równanie różniczkowe, ale nie w taki sposób, jak opisuje się równania ruchu masy ze sprężyną lub obwodów LRC. Nawet mimo faktu, że jest to takie samo równanie różniczkowe drugiego rzędu, różni się ono sposobem prezentacji. By pokazać analizowany w tym artykule algorytm regulacji PID w bardziej przyjazny sposób, możemy posłużyć się równaniem 2:

Równanie 2

Jedyną dokonaną zmianą jest zróżniczkowanie równania 1. Oryginalna, podstawowa forma równania odwołuje się i opisuje położenie. Zróżniczkowanie równania po czasie oznacza prędkość. Dlatego też wzór z równania 2 nazywamy wzorem prędkości. Jeśli dokonamy takiej operacji, człon proporcjonalny (P) staje się członem prędkości (V), człon całkujący staje się członem pozycji (P), a człon różniczkujący staje się przyspieszeniem (A). Położenie, prędkość i przyspieszenie (PVA) to znane nam z fizyki określenia. Aby uczynić wzór jeszcze bardziej przyjaznym, możemy zmienić jego szyk w następujący sposób, jak pokazano w równaniu 3:

Równanie 3

Warto zauważyć, że takie równanie PVA wygląda jak dobrze znane równanie różniczkowe drugiego rzędu. Oznacza to, że łatwiej jest zrozumieć każdy z członów równania. Tłumaczenie algorytmu poprzez równanie PVA pomaga inżynierom posiadającym jedynie podstawową wiedzę na temat regulatora PID (lub bez jakiejkolwiek znajomości PID) dobrze zrozumieć jego działanie.

Komentarze na temat formy prędkościowej

Jednakże istnieją też pewne zastrzeżenia co do przedstawienia algorytmu w formie PVA proponowanej w tym artykule:

Przez lata utrwaliła się tradycyjna forma przedstawienia równania. Wiele podręczników wykorzystuje równanie położenia, a tylko nieliczne przedstawiają równanie prędkości.

Algorytm implementowany jest w systemach sterowania w formie równania odnoszącego się bezpośrednio do położenia. W dodatku jego implementacja jest bardziej złożona niż tylko dodanie trzech członów. Filtrowanie członu różniczkującego, interakcja ze standardowymi członami oraz działania różnicujące na zadanej wartości kontra zmiany wartości mierzonej to popularne narzędzia w systemach sterowania, które wpływają na poziom zaawansowania algorytmu. Pomimo tego, że postać położenia jest wykorzystywana w praktyce oraz opis ten można znaleźć w podręcznikach, forma odnosząca się do prędkości (PVA) oferuje przedstawienie algorytmu inżynierom mechanikom w bardziej przyjazny sposób, pomagając również kształcącym się studentom-inżynierom rozszerzyć ich praktyczną wiedzę zawodową.


Patrick Dixon, PE, jest konsultantem w firmie DPAS Inc.